Conectar PC por cable a un router que hace de cliente WiFi de otro router

Si. Puedes. Ahora depende de tus conocimientos o de tu disponibilidad para pagar a uno que sepa hacerlo.

Mucha suerte. 👍

Si el aparato al que te conectas es un repetidor, o un punto de acceso o router funcionando en modo repetidor, si, funcionará como describes. Si es un router a secas, normalmente no tienen funcionalidad de repetidor (o de cliente de Wifi) con lo que no funcionará.