Router ADSL = Módem ADSL + Router
El módem es el que se encarga de interpretar la señal, en este caso la señal ADSL. Por tanto, si tienes un aparato conectado a una linea de cable ADSL, tiene funcionalidad de módem ADSL. Si en vez de ADSL se tratase de cable, sería un módem cable; si fuese por la red telefónica ordinaria se le suele conocer como módem a secas; etc.
Router: Aparato que permite la interconexión de varios ordenadores (en una topología de estrella, para ser exactos, i.e., con el router en el centro y el resto de equipos en los radios). Esta definición no es del todo correcta, ya que, según cómo trabaje un equipo de interconexión se le llama hub, bridge, switch o router (en orden de funcionalidad creciente). Así, un router (y no un switch o un hub) es el único de los equipos citados consciente del protocolo IP. Esto le permite, por ejemplo, actuar de cortafuegos.
P.D. La próxima vez escribe en el foro adecuado (i.e. General ADSL, visto que has escrito al de Jazztel), para que se pueda aprovechar de las respuestas el mayor número posible de gente.