También puede ser debido a problemas en la fuente de alimentación, o que la fuente de alimentación esté muy justa...
La diferencia (a priori) entre un cable de red conectado y uno desconectado, son unos poco watios... pero si el cable de red está desconectado, el estado del router (on/off) no debería de afectar... tienes una regleta/sai para evitar sobretensiones? esas cosas suelen dar problemitas raros.
¿El pc y el router están en el mismo enchufe o fase de corriente? -- Prueba a ponerlos en diferentes fases (cables a la vista y tirados por el suelo para la prueba)... ¿sucede lo mismo?
¿El pc o el router tienen regletas de protección? -- Retira la/las regletas con protección y ponlos directamente a toma de corriente o en regletas sin protección... ¿sucede lo mismo?
¿Has realizado alguna ampliación en tu pc antes de que esto sucediera? -- (i) resetea la bios a valores iniciales
¿Has realizado alguna ampliación en tu pc antes de que esto sucediera? -- (ii) Posiblemente necesites ampliar la potencia de la fuente de alimentación, cuando el pc se enciende es cuando "más tira" de corriente, hasta que se estabiliza una vez arrancado sist op. En mi caso, cuando enciendo el pc, todos los ventiladores se activan hasta que el termostato da valores certeros de la temperatura (al parecer es por autoprotección)