Ya que vas a tirar cable, tira cat6, ya que ese cable te servirá en el futuro si contratas o te suministran mejores velocidades.
Tienes la opción de grapadoras, y también tienes la opción de canaletas. Hay canaletas muy finas para uno o dos cables que te pueden servir. Si en el tramo por el que pretendes tirar el cable hay rodapiés, puedes poner la canaleta justo encima del rodapié, o el cable con grapas de cable en el rodapié. Las canaletas las puedes fijar con racos o con pegamento. También hay canaletas adhesivas.
Si dispones de rodapié y es de madera puedes usar canaletas de este tipo:

Si no hay rodapié y pa pared es blanca, puedes usar la canaleta blanca.
Si optas por grapar, necesitas una grapadora para cable:

Con grapas en forma de U:

Otra opción que tienes sería hacer con una broca agujeros en la pared y meter un taco especial para pasar cables:

Piensa también en los boquetes que tienes que hacer para pasar el cable del salón al pasillo, y el otro boquete del pasillo al cuarto donde tengas el PC. También piensa en que tal vez tengas que salvar puertas y recorrer el marco de las puertas con el cable, o si tal vez te interese ir haciendo boquetes habitación por habitación, para q no se vea el cable por el pasillo. Depende de como tengas distribuida la casa, y donde se vaya a ver menos el cable o la canaleta.
En cualquier caso, ya que te pones, no pases sólo un cable pasa por lo menos un par de ellos, por lo que pueda pasar y puedas necesitar. También ten en cuenta que para hacer la instalación del cable tienes que hacerlo sin las terminaciones RJ-45, eso tienes que hacerlo aparte con una crimpadora. Para la crimpadora te vale la misma para cat5 que para cat6, pero los conectores RJ-45 intenta comprarlos para cat6 necesita un conector apantallado, al igual que el cable lo es. Podrías meter un conector rj-45 normal, los completamente transparentes de toda la vida con cable cat6, pero es mejor que uses un conector apantallado para cat6.
Y si quieres hacerlo bien del todo, no tires directamente el cable que va del router hasta la otra punta de la casa, tira el cable y crímpalo a una roseta rj-45 hembra en el salón, cerca del router, y el otro extremo del cable a otra roseta rj-45 hembra en el cuarto donde tengas el PC. Dos rosetas en el salón y dos en el cuarto si vas a tirar dos cables.
Luego sólo necesitarías conectar un cable de poca longitud del router a la roseta del salón, y otro cable de tu PC a la roseta de tu cuarto. Así el cable que sufra posibles tirones, se pise con muebles, se corte con cualquier cosa... será el que va del router a la roseta del salón y/o el que va de tu PC a la roseta de tu cuarto, y no el "cable de instalación" que recorre la casa. Es muy sencillo y cómodo cambiar los cables del router y el de tu PC, y muy engorroso tener que pasar otra vez un cable entero por toda la casa. Para las rosetas rj-45 hembra, necesitas una crimpadora hembra, pero puedes apañártelas bien para crimpar la roseta al cable de instalación sin necesidad de esa crimpadora, con el canto fino de una cucharilla, una tarjeta o ficha resistente como las que se usan para identificarse en oficinas, etc.
Y sobre:
como deje 20 metros de cable de red por el pasillo, la parienta me mata!
Si la casa también es tuya, la pagas tu a medias, o pero aún, la casa es sólo tuya, o la pagas entera sólo tú... no consientas que sus caprichos y decisiones estéticas lastimen tu capacidad de línea contratada. No cedas en esto, esto es importante.
Piensa además en que tu conexión va a ser mucho más segura con cable, tanto para tus comunicaciones, como para tu salud.