Es muy entraño que el fabricante te obligue a utilizar la forma mas difícil de conectar (la del IP manual).
Todos los dispositivos de red Ethernet hacen una petición y reciben dirección IP desde un servidor DHCP que esta en la red, en tu caso el router TP-Link. Si el servidor esta apagado ningún otro PC o dispositivo recibirá una IP y tendrás que asignarlas manualmente en el mismo rango del router (192.168.1.1).
En tu caso verifica primero los cables, en la terminación del cable que introduces en la TV usa un PC (portátil preferible ), haber si recibes una IP del router si no o el router no asigna IP correctamente o el cable esta mal.
El el modo automático DHCP las DNS se asignan automáticamente según esta configurado el router (las de tu ISP que vienen por defecto) o puedes poner otras DNS que te plasca (y aceptan conectar a ellas mismas) en tu router.
Desconozco la topologia de red que quieres crear al comprar un nuevo router ya que con el que facilita Jazztel funcionaria sin necesitad de comprar otro router (salvo que tienes cuatro(4) dispositivos conectados al router ya, en cual caso un switch seria suficiente para conectar mas dispositivos).
Ahora si quieres substituir el router facilitado por Jazztel con el TP-Link tendrás que configurarlo que te funcione el ADSL primero y después la red local.
Larga historia corta: substituía la TV por un ordenador y desde allí via prueba y error arregla el fallo.
Despacito y paso a paso ya que tu problema es fácil de arreglar.